Ukuran Pemusatan Data (2)

 Median

Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya. Median dari sekumpulan data adalah data tengah setelah seluruh data di susun dari yang terkecil sampai yang terbesar dari seluruh data.

• Median data tunggal

Median data tunggal dengan banyak data ganjil

Misal X₁ , X₂ , X₃ , … , X_n,…, X_2n-1                n = bilangan bulat

Me = X_n

Contoh: Median dari 3, 7, 6, 5, 4, 3, 3, 2, 5 adalah

2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7          Me = 4

Median data tunggal dengan banyak data genap

Misal X₁ , X₂ , X₃ , … , X_n, X_n+1,…, X_2n         n = bilangan bulat

Contoh : Median dari 2, 3, 7, 5, 6, 4, 3, 2 adalah

2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7               Me = $\frac{3+4}{2}=3,5$ 

• Median data berdaftar distribusi frekuensi

Keterangan:

Me            : median

L₁                : batas bawah kelas median

d               : lebar kelas interval

N              : banyak data

$\sum F$        : jumlah frekuensi sebelum interval kelass median

f_median      : frekuensi kelas median

Contoh : Tabel distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

Modus

Modus dari sekumpulan data adalah data yang paling sering muncul / atau mempunyai frekuensi tertinggi.

• Modus dari data tunggal

Contoh :

• Barisan 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18       ; modus = 9, disebut uni modal
• Barisan 1, 1, 1, 1, 1             ; modus = 1
• Barisan 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16  ; tidak memiliki modus
• Barisan 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9           ; modus = 4 dan 7, disebut bimodal

Modus dari data berdistribusi frekuensi

Keterangan

Mo      : modus

L₁         : batas bawah kelas modus

d          : lebar interval kelas

Δ₁        : frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

Δ₂        : frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi sesudahnya

 

Contoh : Tabel distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

Kuartil, Desil, dan Persentil

• Kuartil

Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil yaitu kuartil pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga yang masing-masing disimbolkan dengan Q₁, Q₂, dan Q₃.

Untuk menentukan nilai kuartil caranya:

•  Susun data menurut urutan nilainya.
•  Tentukan letak kuartil

          Letak Q_j = data ke $\frac{j(n+1)}{4}$ dengan j = 1, 2, 3

• Tentukan nilai kuartil

Untuk data berdistribusi frekuensi nilai kuartil :

Contoh :

1. Carilah Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70

     Data diurutkan dulu menjadi : 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94

• Q₁ 

Letak Q₁ =  $\frac{1(12+1)}{4}=3,25$

Nilai Q₁ = 58

• Q₂ 

Letak Q₂ =  $\frac{2(12+1)}{4}=6,5$

Nilai Q₂ = 68

• Q₃ 

          Letak Q₃ =  $\frac{3(12+1)}{4}=9,75$

Nilai Q₃ = 85

 

2. Carilah Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data

Tabel distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ 

• Q₁

Letak Q₁ =  $\frac{1(80+1)}{4}=20,25$

Data dengan frekuensi 20,25 berada pada rentang nilai 65-69, yang artinya kelas Q₁ berada pada rentang nilai ini.

L₁          : 64,5

d            : 5

$\sum F$     : 14

$f_{Q1}$       : 10

$Q_{1}=64,5+5\left ( \frac{\frac{1*80}{4}-14}{10} \right )=67,5$

• Q₂

Letak Q₂ =  $\frac{2(80+1)}{4}=40,5$

Data dengan frekuensi 40,5 berada pada rentang nilai 75-79, yang artinya kelas Q₂ berada pada rentang nilai ini.

L₁          : 74,5

d            : 5

$\sum F$     : 36

$f_{Q1}$       : 21

$Q_{1}=74,5+5\left ( \frac{\frac{2*80}{4}-36}{21} \right )=75,45$

• Q₃

Letak Q₃ =  $\frac{3(80+1)}{4}=60,75$

Data dengan frekuensi 60,75 berada pada rentang nilai 80-84, yang artinya kelas Q₃ berada pada rentang nilai ini.

L₁          : 79,5

d            : 5

$\sum F$     : 57

$f_{Q1}$       : 6

$Q_{1}=79,5+5\left ( \frac{\frac{3*80}{4}-57}{6} \right )=82$

Desil

Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka di dapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan DESIL. Dinotasikan D1, D2, D3, ... , D9 .

Letak Q_j = data ke $\frac{j(n+1)}{10}$ dengan j = 1, 2, 3,...,10

Untuk data dalam distribusi frekuensi nilai Desil :

$D_{j}=L_{1}+d\left ( \frac{\frac{jn}{10}-\sum f}{f} \right )$

dengan j = 1, 2, 3,...,10

Persentil
Jika kumpulan data itu dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka di dapat sembilan puluh sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan PERSENTIL. Dinotasikan P₁, P₂, P₃, ... , P₉₉.

Letak P_j = data ke $\frac{j(n+1)}{100}$ dengan j = 1, 2, 3,4,…,99

 
Untuk data dalam distribusi frekuensi nilai Persentil :

                        $P_{j}=L_{1}+d\left ( \frac{\frac{jn}{100}-\sum f}{f} \right )$

dengan j = 1, 2, 3,4,…,99